Дробные рациональные неравенства

\(\frac{9x^2-1}{3x}\)\(\leq0\)

\(\frac{1}{2x}\)\(+\) \(\frac{x}{x+1}\)\(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac{6}{x+1}\)\(>\) \(\frac{x^2-5x}{x+1}\).

При решении дробных рациональных неравенств используется метод интервалов. Поэтому если алгоритм, приведенный ниже, вызовет у вас затруднения, посмотрите статью по методу интервалов.

Как решать дробные рациональные неравенства:

Алгоритм решения дробно-рациональных неравенств.

1. Равносильными преобразованиями приведите неравенство к виду: \(\frac{(x-x_1 )^n (x-x_2 )^k…}{(x-x_3 )^l (x-x_4 )^m…}\)\(∨0\)   (\(∨\) - любой знак сравнения; \(n\),\(k\),\(l\),\(m\) – любые целые числа большие нуля, в том числе и \(1\)).
   

   Примеры:
                      \(\frac{(x-3)^5 (x-1,2)}{(x+1)^2}\) \(≥0\)                                          \(\frac{(x-4)^3 (x-6)^4 (x+6)}{(x+7,5)}\)\(<0\)
   

2. Найдите корни числителя и знаменателя (т.е. такие значения икса, которые превратят их в ноль).

   Примеры:
                          \(x=3\);     \(x=1,2\);     \(x=-1\).                            \(x=4\);     \(x=6\);     \(x=-6\);     \(x=-7,5\).
   

3. Нанесите их на числовую ось.
   Если неравенство строгое, то корни числителя обозначьте «выколотой» точкой, если нет - закрашенной. Корни знаменателя «выколоты» всегда, независимо от строгости знака сравнения. 
   

   Примеры:
                            
   

4. Расставьте знаки на интервалах числовой оси. Напомню правила расстановки знаков:
   
   - Определяем знак в самом крайнем правом интервале - берем число с этого интервала и подставляем его в неравенство вместо икса. После этого определяем знаки в скобках и результат перемножения этих знаков;
   
   - Дальше двигаемся влево;

   - Переходя через число:	- меняем знак, если скобка с этим числом была в нечетной степени (\(1\), \(3\), \(5\)…)
   	- не меняем знак, если скобка с этим числом была в четной степени (\(2\), \(4\), \(6\)…)

   Примеры:
                                                                                              

5. Выделите нужные промежутки. Если есть отдельно стоящий корень, то отметьте его флажком, чтоб не забыть внести его в ответ (см. пример ниже).

   Примеры:
                                    

6. Запишите в ответ выделенные промежутки и корни, отмеченные флажком (если они есть).

   Примеры:
                 Ответ: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪[3;∞)\)                               Ответ: \((-∞;-7,5)∪(-6;4)\)

\(\frac{x}{(x+1)(x-3)}+\frac{4}{{(x-3)}^2} ≥\frac{-3x}{(x-3)^2 (x+1)}\)		Сначала приведем к общему знаменателю дроби из левой части.
\(\frac{x(x-3)+4(x+1)}{(x+1){(x-3)}^2} ≥\frac{-3x}{(x-3)^2 (x+1)}\)		Раскрываем скобки в числителе.
\(\frac{x^2-3x+4x+4}{(x+1){(x-3)}^2} ≥\frac{-3x}{(x-3)^2 (x+1)}\)		Переносим дробь из правой части в левую, меняя знак перед ней.
\(\frac{x^2-3x+4x+4}{(x+1){(x-3)}^2} - \frac{-3x}{(x-3)^2 (x+1)}\)\(≥0\)		Вычитаем две дроби с одинаковым знаменателем.
\(\frac{x^2-3x+4x+4 +3x}{(x-3)^2 (x+1)}\)\(≥0\)		Приводя подобные слагаемые, взаимно уничтожаем \(-3x\) и \(3x\).
\(\frac{x^2+4x+4 }{(x-3)^2 (x+1)}\)\(≥0\)		Свернем выражение в числителе по формуле сокращенного умножения.
\(\frac{(x+2)^2}{(x-3)^2 (x+1)}\)\(≥0\)		Мы привели неравенство к нужному виду. Теперь решаем по алгоритму. Сначала вычисляем те значения икса, которые сделают нулем числитель или знаменатель.
\(x=-2;\)       \(x=-1;\)     \(x=3;\)		Отмечаем их на оси, не забывая «выколоть» иксы от знаменателя и закрасить те, что от числителя.
		Определим знак в крайнем правом интервале. Найдем значение дроби при \(x=4\): \(\frac{(4+2)^2}{(4+1) (4-3)^2 }\) – значение дроби положительно. Значит в крайнем правом участке будет \(+\) . Расставляем знаки на других интервалах. Обратите внимание, что в \(x=-1\) знак меняется, а в \(3\) и \(-2\) (выделены рамкой) – нет. Точку \(-2\) отмечаем флажком, чтобы не забыть взять ее в ответ. Все. Нам подойдут интервалы с плюсом и точка \(-2\). Готово.

В этом месте у учеников часто встает вопрос – «а зачем решать так сложно? Почему бы просто не умножить дробное рациональное неравенство на общий знаменатель и сразу сократить все знаменатели, как мы это делаем в дробно-рациональных  уравнениях?» Дело в том, что:

Уравнения без проблем можно умножить/делить хоть на положительное число или выражение, хоть на отрицательное. И мы это постоянно делаем при решении уравнений.

Например,                  \(\frac{x}{3}\)\(=4\)          \(|·3\)                         \(-2x=6\)       \(|∶(-2)\)
                                       \( x=12\)                                           \(x=-3\)

Но в неравенстве - не так! Все дело в том, что при умножении (или делении) на положительное, знак сравнения в неравенстве не меняется, а при умножении (делении) на отрицательное - меняется.

Например,                  \(5x>15\)          \(|:5\)                         \(-5x>15\)       \(|∶(-5)\)
                                       \( x>3 \)                                                  \(x<-3\)

А теперь представьте, что мы делим (или умножаем) на выражение с переменной. Внимание, вопрос - какой знак сравнения нам нужно теперь ставить? Тот же? Или противоположный?

Непонятно, мы же не знаем каким оно (выражение на которое умножали) было– положительным или отрицательным! Действительно, при иксе равном \(1\), значение \((x-3)\) отрицательно, а при иксе равном \(7\) – положительно. Поэтому так преобразовывать нельзя. При этом заметим, что:

Например, дробное рациональное неравенство \(\frac{x+1}{(x-3)^2+5}\)\(≥0\) умножить на \((x-3)^2+5\) можно, потому что это выражение положительно при любом иксе (и значит, после умножения мы оставим тот же знак сравнения).

А вот неравенство \(\frac{x+1}{x+5}\)\(≥\)\(\frac{3-x}{x+5}\) умножить на \((x+5)\) – нельзя, потому что при разных иксах его значение может быть и отрицательным, и положительным.