Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения

Математический словарь
Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения

Дробно-рациональные уравнения – уравнения, которые можно свести к виду \(\frac{P(x)}{Q(x)}\)\(=0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) - выражения с иксом (или другой переменной).

Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Например:

\(\frac{9x^2-1}{3x}\)\(=0\)
\(\frac{1}{2x}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1}=\frac{x^2-5x}{x+1}\)

Пример не дробно-рациональных уравнений:

\(\frac{9x^2-1}{3}\)\(=0\)
\(\frac{x}{2}\)\(+8x^2=6\)

Как решаются дробно-рациональные уравнения?

Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ. И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

Выпишите и «решите» ОДЗ.
Найдите общий знаменатель дробей.
Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
Запишите уравнение, не раскрывая скобок.
Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.
Решите полученное уравнение.
Проверьте найденные корни с ОДЗ.
Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.

Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.

Пример. Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)

Решение:

\(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\) ОДЗ: \(x-2≠0⇔x≠2\) \(x+2≠0 ⇔x≠-2\) \(x^2-4≠0⇔ x≠±2\)		Сначала записываем и "решаем" ОДЗ.
\(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)		По формуле сокращенного умножения: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Значит, общий знаменатель дробей будет \((x-2)(x+2)\). Умножаем каждый член уравнения на \((x-2)(x+2)\).
\(\frac{x(x-2)(x+2)}{x-2} - \frac{7(x-2)(x+2)}{x+2}=\frac{8(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}\)		Сокращаем то, что можно и записываем получившееся уравнение.
\(x(x+2)-7(x-2)=8\)		Раскрываем скобки
\(x^2+2x-7x+14=8\)		Приводим подобные слагаемые
\(x^2-5x+6=0\)		Решаем полученное квадратное уравнение.
\(x_1=2;\) \(x_2=3\)		Согласуем корни с ОДЗ. Замечаем, что по ОДЗ \(x≠2\). Значит первый корень - посторонний. В ответ записываем только второй.

Ответ: \(3\).

Пример. Найдите корни дробно-рационального уравнения \(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\)\(=0\)

Решение:

\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\)\(=0\) ОДЗ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac{-7+3}{2}=-2\) \(x_2≠\frac{-7-3}{2}=-5\)		Записываем и «решаем» ОДЗ. Раскладываем квадратный трехчлен \(x^2+7x+10\) на множители по формуле: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Благо \(x_1\) и \(x_2\) мы уже нашли.
\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{(x+2)(x+5)}\)\(=0\)		Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение.
\(\frac{x(x+2)(x+5)}{x+2} + \frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+5}-\) \(-\frac{(7-x)(x+2)(x+5)}{(x+2)(x+5)}\)\(=0\)		Сокращаем дроби
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Раскрываем скобки
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Приводим подобные слагаемые
\(2x^2+9x-5=0\)		Находим корни уравнения
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac{1}{2}.\)		Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.