Общий знаменатель алгебраических дробей

Например, для дробей \(\frac{1}{5a}\) и \(\frac{3}{b}\) общим знаменателем будет \(5ab\), потому что именно это выражение содержит в себе все множители первого знаменателя (то есть, пятерку и \(a\)), а также все множители второго (это \(b\)).

Получается, что для нахождения общего знаменателя достаточно просто перемножить знаменатели всех дробей? Да, вообще говоря, это так. Однако на практике такой способ часто бывает неудобен, так как приводит к громоздким вычислениям в дальнейшем. Поэтому обычно находят наименьший общий знаменатель.

Например, для дробей \(\frac{1}{ab}\) и \(\frac{3}{abc}\) наименьшим общим знаменателем будет выражение \(abc\), но не \(a^2 b^2c\) (которое мы получим, если просто перемножим \(ab\) и \(abc\)).

Как искать наименьший общий знаменатель?

В приведенном выше примере наименьший общий знаменатель был очевиден. Однако в более сложных случаях его вот так сходу не напишешь.

Пример. Найдите общий знаменатель для дробей \(\frac{3}{x^2-5x}\) и \(\frac{x}{x^2-25}\).

Решение.

Пример. Найдите общий знаменатель для дробей \(\frac{a+1}{5a^2}\), \(\frac{11-b}{a^3-9a}\) и \(\frac{7}{(a-3)^2}\).

Решение. И вновь раскладываем на множители знаменатели всех трех дробей, а потом собираем нашего «Франкенштейна»:

Поиск общего знаменателя важный этап при работе с алгебраическими дробями, а также при решении дробно-рациональных уравнений.

Скачать статью